复利与单利计算公式的推导与比较
复利与单利是计算投资收益的两种基础方法，广泛应用于金融领域。复利计算考虑了每期利息的累积效应，能显著提高长期投资的回报。而单利则基于初始本金计算利息，适用于短期投资。本文将详细推导并对比复利和单利公式，帮助读者理解这两种方法的差异及其实际应用。
本文首先推导了复利计算公式 $FV = \text{PV} \times (1 + i)^n$，其中 $FV$ 表示未来值，$PV$ 表示现值，$i$ 为每期利率，$n$ 为期数。接着，推导了单利公式 $FV = \text{PV} \times (1 + i \times n)$，并比较了两者的差异。通过对比，强调了复利在长期投资中的优势，以及在金融计算中的广泛应用。
复利与单利
$$ FV= \text{PV} \times (1 + i)^n $$ 是 复利计算公式，其中：
- ${FV}$ 表示未来值（Future Value），即经过一定时间后，投资或借款的总金额。
- ${PV}$ 表示现值（Present Value），即现在的金额。
- $i$ 是每期的利率（Interest Rate），通常表示为小数。
- $n$ 是期数（Number of periods），通常指投资或借款的时间跨度，以期为单位。
1. 复利公式 推导
复利公式 $FV= \text{PV} \times (1 + x)^t$ 用于计算资金在多个周期（如年、月或天）后累计的总金额。这个公式是基于 复利 的原则推导的。
定义：
- PV：现值（Present Value），即当前资金的数额。
- FV：未来值（Future Value），即经过若干期后的资金数额。
- x：每期的利率，通常以小数表示。例如，5%的年利率就是 x=0.05x = 0.05。
- t：时间，通常以期为单位（如年、月、天等）。
推导过程
- 第一期：如果本金为 PV\text{PV}，第一期利息将是 $PV×x\text{PV} \times x$，因此第一期末的总金额为：
$\text{PV} \times (1 + x)$
-
第二期：第二期时，第一期的利息已经加入本金，新的本金是 $PV×(1+x)\text{PV} \times (1 + x)$，因此第二期的利息将基于新的本金计算。第二期末的总金额为： $$ PV×(1+x)×(1+x)= \text{PV} \times (1 + x)^2 $$
-
以此类推：每过一个周期，利息会加入到本金中，并基于新的本金计算下一个周期的利息。所以在经过 tt 个周期之后，最终的金额为：
$FV= \text{PV} \times (1 + x)^t$
这就是复利公式，它表示本金随着时间的推移而增长，每期利息都加入到本金中，形成新的本金。
2. 单利公式 推导
你提到的公式 $FV= \text{PV} \times (1 + x \times t)$ 是 单利公式。在单利计算中，利息是基于初始本金计算的，而不是基于新本金。
定义：
- PV：现值（Present Value），即当前资金的数额。
- FV：未来值（Future Value），即经过若干期后的资金数额。
- x：每期的利率，通常以小数表示。
- t：时间，通常以期为单位（如年、月、天等）。
推导过程
- 第一期：本金是 $\text{PV}$，利息是 $\text{PV} \times x$。
所以第一期末的金额为： $$ PV+PV×x= \text{PV} \times (1 + x) $$
- 第二期：第二期的本金仍然是初始本金 PV\text{PV}，所以第二期的利息是 PV×x\text{PV} \times x。
第二期末的金额为： $$ PV×(1+x)+PV×x= \text{PV} \times (1 + 2x) $$
- 以此类推：每期的利息是基于初始本金计算的，而不考虑之前期数中积累的利息。所以在经过 tt 个周期之后，最终的金额为： $$ FV= \text{PV} \times (1 + x \times t) $$ 这是单利公式，它表示每期的利息是基于初始本金 PV\text{PV} 计算的，而不是基于每期增加后的新本金。
3. 总结
- 复利公式：$FV= \text{PV} \times (1 + x)^t$
复利计算时，每期的利息都会加入到本金中，生成新的本金，从而导致利息呈指数增长。
- 单利公式：$FV= \text{PV} \times (1 + x \times t)$
单利计算时，利息始终基于初始本金计算，不会累积成新的本金，因此利息是线性增长的。
注意： 在实际金融计算中，大部分利息计算都采用复利模型，尤其是在 Compound 协议 等借贷平台上，因为复利可以更好地反映资金的增长与借款人的负担。
总结
复利和单利在金融计算中各有优势。复利适用于长期投资，通过复利的积累可以显著提高回报，而单利则适合短期计算，利息仅基于初始本金。复利在实际投资中得到了广泛应用，尤其是在金融产品与借贷平台中。掌握复利计算，不仅能提高投资回报，还能对个人和企业的长期发展起到积极作用。